"Les erreurs sont les preuves que l'on essaye !"
"Je ne perds pas, soit je gagne, soit j'apprends !"
Définition
Une équation du deuxième degré est une équation qui peut s'écrire sous la forme suivante :
Le paramètre x est appelé l'inconnue de notre équation et les coefficients a, b et c représentent des nombres réels.
Un nombre réel est une solution d'une équation du deuxième degré si, en remplaçant l'inconnue par ce nombre, nous obtenons une égalité.
Exemples
Prenons l'équation
Le nombre 2 est une solution de cette équation puisqu'en remplaçant notre inconnue par ce nombre, l'égalité est respectée.
Prenons l'équation
Le nombre 2 n'est pas une solution de cette équation puisqu'en remplaçant notre inconnue par ce nombre, l'égalité n'est pas satisfaite.
L'utilisation de théorème du produit nul, présenté ci-dessous, permet de résoudre une équation d'un degré supérieur ou égal à deux, lorsqu'une équation est donnée sous une forme factorisée.
Théorème du produit nul
Une expression algébrique est factorisée si elle est écrite sous la forme d'un produit de facteurs tel que :
Une expression algébrique factorisée est égale à 0, si et seulement si l'un de ses facteurs est égal à 0.
si et seulement si
Exemple
Prenons l'équation
Nous pouvons affirmer que l'expression algébrique se trouvant à gauche du signe de l'égalité est nulle si et seulement si :
Ainsi, nous pouvons en conclure que les solutions de notre équations sont :
L'ensemble des solutions de ce système d'équations est noté .
La difficulté, pour résoudre une équation du deuxième degré ou d'un degré supérieur, réside sur le fait de trouver la factorisation d'une expression algébrique. Les identités remarquables, introduites par Al-Khwarizmi au cours du 9e siècle, représentent des outils essentiels pour atteindre cet objectif. Néanmoins, l'utilisation des identités remarquables a ses limites et les travaux de François Viète permettront, par la suite, de combler ces lacunes et de trouver aisément les solutions de tous types d'équations du deuxième degré.
Je vous invite à consulter les documents théoriques et les vidéos associées, présentes dans cette section, afin de prendre connaissance de ces différentes techniques permettant de résoudre des équations du deuxième degré en particulier.